Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Справедлива теорема

Справедлива теорема.

Теорема 6.2. Совокупность векторов t, t, t, удовлетворяющих системе (6.28), (6.32), (6.33), образует седловую точку функции Ф(х, z, λ) (6.30), т. е. при любых допустимых х, z, λ выполняются неравенства

Доказательство.

Пусть t, t, t, удовлетворяют системе (6.28), (6.32), (6.33). Тогда из (6.31) и (6.32) следует, что

и поскольку t удовлетворяет (6.33), то

С другой стороны, в силу (6.28) из (6.30) следует, что при любом векторе t

Следовательно,

Применяя теорему (6.2), а также положения теории нелинейного программирования, касающиеся связи между решением экстремальной задачи и существованием седловой точки (см. п. 2.2.2), приходим к выводу о том, что векторы t, t являются решением простейшей задачи оптимального управления (6.27)-(6.29).

В результате мы получили логически простую схему решения данной задачи: из соотношений (6.32) определяются сопряженные переменные t, затем в ходе решения задачи (6.33) находятся управления t и далее из (6.28) — оптимальная траектория состояний t,.

Предложенный метод относится к фундаментальным результатам теории оптимального управления и, как уже это упоминалось выше, имеет важное значение для решения многих более сложных задач, которые, так или иначе, сводятся к простейшей. В то же время очевидны и пределы его эффективного использования, которые целиком зависят от возможности решения задачи (6.33).