Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Постановка и классификация задач теории оптимального управления. В подавляющем большинстве рассмотренных нами задач факторы, связанные с изменением изучаемых объектов и систем в течение времени, выносились за скобки. Возможно, при выполнении определенных предпосылок такой подход является конструктивным и правомерным. Однако очевидно и то, что это допустимо далеко не всегда. Существует обширный класс задач, в которых необходимо найти оптимальные действия объекта, учитывающие динамику его состояний во времени и пространстве. Методы их решения составляют предмет математической теории оптимального управления.

В весьма общем виде задача оптимального управления может быть сформулирована следующим образом:

Имеется некоторый объект, состояние которого характеризуется двумя видами параметров — параметрами состояния и параметрами управления, причем в зависимости от выбора последних процесс управления объектом протекает тем или иным образом. Качество процесса управления оценивается с помощью некоторого функционала*, на основе чего ставится задача: найти такую последовательность значений управляющих параметров, для которой данный функционал принимает экстремальное значение.

* Функционалом называется числовая функция, аргументами которой, как правило, служат другие функции.

С формальной точки зрения многие проблемы оптимального управления могут быть сведены к задачам линейного или нелинейного программирования большой размерности, так как каждой точке пространства состояний соответствует свой вектор неизвестных переменных. Все же, как правило, движение в данном направлении без учета специфики соответствующих задач не приводит к рациональным и эффективным алгоритмам их решения. Поэтому методы решения задач оптимального управления традиционно связаны с другим математическим аппаратом, берущим свое начало от вариационного исчисления и теории интегральных уравнений. Следует также заметить, что опять-таки в силу исторических причин теория оптимального управления была ориентирована на физические и технические приложения, и ее применение для решения экономических задач носит в определенном смысле вторичный характер. В то же время в целом ряде случаев модели исследования, применяющие аппарат теории оптимального управления, могут привести к содержательным и интересным результатам.

К сказанному выше необходимо добавить замечание о тесной связи, существующей между методами, применяемыми для решения задач оптимального управления, и динамическим программированием. В одних случаях они могут использоваться на альтернативной основе, а в других довольно удачно дополнять друг друга.

Существуют различные подходы к классификации задач оптимального управления. Прежде всего, их можно классифицировать в зависимости от объекта управления:

Ø задачи управления с сосредоточенными параметрами;

Ø задачи управления объектами с распределенными параметрами.

Примером первых является управление самолетом как единым целым, а вторых — управление непрерывным технологическим процессом.

В зависимости от типа исходов, к которым приводят применяемые управления, выделяют детерминированные и стохастические задачи. В последнем случае результатом управления является множество исходов, описываемых вероятностями их наступления.

По характеру изменения управляемой системы во времени различают задачи:

Ø с дискретно изменяющимся временем;

Ø с непрерывно изменяющимся временем.

Аналогично классифицируются задачи управления объектами с дискретным или непрерывным множеством возможных состояний. Задачи управления системами, в которых время и состояния меняются дискретно, получили название задач управления конечными автоматами. Наконец, при определенных условиях могут ставиться задачи управления смешанными системами.

Многие модели управляемых систем основаны на аппарате дифференциальных уравнений как в обыкновенных, так и в частных производных. При исследовании систем с распределенными параметрами, в зависимости от вида используемых дифференциальных уравнений в частных производных, выделяют такие типы задач оптимального управления, как параболические, эллиптические или гиперболические.