Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Смешанные стратегии

Смешанные стратегии. Дальнейшее развитие теории матричных игр основывается на исследовании игры как некоторого повторяющегося процесса. Действительно, вряд ли можно дать содержательные рекомендации по такому вопросу, как следует поступать участникам однократно проводимой игры, не имеющей седловой точки. В случае же ее многократных повторов естественной и плодотворной представляется идея рандомизации выбора стратегий игроками, т. е. внесение в процесс выбора элемента случайности. Действительно, систематическое отклонение, например, игрока I от максиминной стратегии с целью увеличения выигрыша может быть зафиксировано вторым игроком и наказано. В то же время абсолютно хаотичный выбор стратегий не принесет в среднем наилучшего результата.

F Смешанной стратегией игрока I в игре с матрицей A=║ai,jmxn называется упорядоченный набор действительных чисел xi , i∊1:m, удовлетворяющих условиям

Числа интерпретируются как вероятности применения игроком I стратегий 1, 2,..., m, которые, в отличие от смешанных, также называют чистыми стратегиями.

Аналогично вводится понятие смешанных стратегий игрока II, которые определяются как набор чисел уj , j∊1:n , удовлетворяющих условиям

Тогда, если игрок I применяет смешанную стратегию х = (х1, х2,..., хm) а игрок II смешанную стратегию y = (y1, y2,..., yn), то математическое ожидание выигрыша игрока I (проигрыша игрока II) определяется соотношением

*

* Напомним, что при многократном повторении игры средний выигрыш близок к математическому ожиданию.

В дальнейшем через Х будем обозначать множество допустимых смешанных стратегий игрока I, определяемое условием 6.7, а через Y — определяемое условием 6.8 множество допустимых смешанных стратегий игрока II.

К поиску решения игры в смешанных стратегиях, так же как и в п. 6.1.3, могут быть применены критерии максимина-минимакса. В соответствии с ними игрок I будет выбирать свою смешанную стратегию х = (х1, х2,..., хm) таким образом, чтобы максимизировать наименьший средний выигрыш:

который, как можно доказать, равен

а игрок II — свою смешанную стратегию так, чтобы минимизировать наибольший средний проигрыш:

также равный

По аналогии с (6.3) для любых хХ и yY справедливо неравенство

F Стратегии х*Х и y*Y называют оптимальными смешанными стратегиями, если для любых хХ и yY справедливо равенство

v =F(x*, у*) называют ценой игры, и если х* и у* существуют, то говорят, что игра имеет решение в смешанных стратегиях (х*, у*, v).

Справедлива фундаментальная теорема Дж. Неймана, которую мы приведем без доказательства.

Теорема 6.1 (основная теорема матричных игр). Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.

Значение и нетривиальность теоремы (6.1) обусловлены прежде всего тем, что, как было показано в п. 6.1.3, в общем случае матричные игры в чистых стратегиях решения не имеют.