Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Матричные игры и понятие седловой точки

Матричные игры и понятие седловой точки. Рассмотрим более подробно антагонистические игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название — матричные игры. Каждый элемент платежной матрицы аij содержит числовое значение выигрыша игрока I (проигрыша игрока II), если первый применяет стратегию i, а второй — стратегию j. Термины выигрыш и проигрыш следует понимать в широком смысле, т. к. они могут принимать отрицательные значения и с житейской точки зрения означать противоположное. Нетривиальность задачи прежде всего заключается в том, что каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно осложняет процесс оптимизации выбираемой стратегии.

Классическим примером антагонистической игры является игра с двумя участниками, загадывающими независимо друг от друга числа. Предполагается, что если их сумма оказывается четной, то выигрыш, равный 1, достается первому игроку, а если нечетной, то второму. Положив, что для обоих игроков загадывание нечетного числа является первой стратегией, а четного — второй, можем записать платежную матрицу данной игры:

Строки матрицы (6.1) соответствуют стратегиям игрока I, столбцы — стратегиям игрока II, а ее элементы — результатам первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока.

Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1 до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае, если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый — второму. Запишем платежную матрицу для такой игры:

Некоторая условность и искусственность в постановке проблемы не должны в данном случае нас смущать, так как к подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например, соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т. п.

Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру, для которой задана платежная матрица А=║aijmxn. При выборе игроком I стратегии i его гарантированный доход независимо от действий игрока II составит min ai,j. Поскольку он может выбирать i самостоятельно, то целесообразно этот выбор сделать таким, чтобы он при любой стратегии противника максимизировал величину гарантированного дохода, т. е. обеспечивал получение max (min ai,j). Такой принцип выбора стратегии получил название «принцип максимина». С другой стороны, аналогичные рассуждения могут быть проведены по поводу действий второго игрока. Его наибольший проигрыш при выборе стратегии j составит max ai,j, и, следовательно, ему следует выбирать стратегию так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т. е. обеспечить min (max ai,j). в этом суть принципа минимакса.

Можно доказать справедливость следующего соотношения:

Однако очевидный интерес представляет ситуация, при которой значение выигрыша (платежа), получаемого игроком I при выборе им максиминной стратегии, равно платежу (проигрышу) II-го игрока при минимаксной стратегии

В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку. Совпадение значений гарантированных выигрышей игроков при максиминной и минимаксной стратегии означает возможность достижения в игре некоторого оптимального (стабильного, равновесного) состояния, от которого невыгодно отклоняться ни одному из участников. Понятие «оптимальность» здесь означает, что ни один разумный (осторожный) игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник, в принципе, сможет выбрать такую стратегию, которая даст худший для первого результат. Стратегии i* и j*, образующие седловую точку, называются оптимальными, а значение v = ai*j* называют ценой игры. Тройка (i*, j*, v) считается решением матричной игры с седловой точкой.

Нетрудно заметить, что не всякая игра обладает седловой точкой. В частности, как игра (6.1), так и игра (6.2) седловой точки не имеют. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с платежной матрицей (6.5).

В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для игры с матрицей (6.5) имеет решение (2; 3; 5).