Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Оценки эффективности управления на каждом шаге

Оценки эффективности управления на каждом шаге имеют вид:

Поскольку в поставленной задаче задано начальное условие ξ*0 = 2, ее решение начинается с конца, и, следовательно, будут применяться рекуррентные соотношения (5.17). С технической точки зрения будет удобно на каждом шаге составлять две таблицы значений: функции издержек, получаемых начиная с текущего шага в зависимости от текущего состояния и управления,

и функции минимальных издержек в зависимости от текущего состояния

Для сокращения объема табулируемых значений можно воспользоваться свойством выпуклости функции Ωk (xk , ξ), вытекающим из выпуклости f и g. Из выпуклости функции Ωk (xk , ξ) следует, что заполнять таблицу ее значений необходимо лишь до тех пор, пока они уменьшаются, т. е. можно остановиться, как только очередное значение оказывается больше предыдущего. Отметим, что подобные приемы очень широко используются в динамическом программировании. Разумеется, иллюстрируемые методы не рассчитаны на ручной счет, поскольку связаны с очень большим объемом рутинных вычислений. Ради краткости ниже приведены только фрагменты таблиц, содержащие интересующие нас значения.

Итерация 1. Полагаем k=4. На данном этапе функция состояния Λ4(ξ) может быть найдена непосредственно, если учесть, что x4*=0 и u(0)=0:

Таблица значений данной функции и условные оптимальные управления имеют вид

Итерация 2. Полагаем k=3. Предварительно заполним таблицу значений функции Ω3 (x3, ξ) для достаточно большого множества аргументов согласно формуле:

Выбирая минимальные по х3 значения Ω3 (x3 , ξ) составим таблицу Λ3(ξ) и соответствующие значения условных оптимальных управлений 3(ξ):

Итерация 3. Полагаем k=2. Так же, как на предыдущей итерации, заполним таблицу значений функции Ω2 (x2 , ξ) согласно формуле:

Выбирая минимальные по х2 значения Ω2 (x2 , ξ), составим таблицу Λ1(ξ) и соответствующие значения условных оптимальных управлений 2(ξ):

Итерация 4. Полагаем k=1. Аналогично предыдущему, заполним таблицу значений функции Ω1 (x1 , ξ) согласно формуле:

Выбирая минимальные по х1, значения Ω1 (x1 , ξ), составим таблицу Λ1(ξ) и соответствующие значения условных оптимальных управлений 1(ξ):

Итерация 5. На последней итерации, в связи с наличием начального условия ξ*0 = 2, достаточно вычислить

и найти 0(2) как точку минимума Ω0 (x0 , 2) . Простые вычисления показывают, что минимум

достигается при x0(2) = 1.

Следовательно, x*0 = 0(2)=1, после чего обратным ходом последовательно вычисляются оптимальные управления и оптимальные состояния (оптимальная траектория):

Итак, результаты расчета свидетельствуют, что при заданной системе расценок в третьем месяце выгоднее не брать 5-го работника, а компенсировать его отсутствие дополнительными выплатами за сверхурочную работу имеющимся сотрудникам.