Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Содержательно задача

Содержательно задача (5.3)-(5.4) может быть интерпретирована как проблема оптимального вложения некоторых ресурсов j, приводимых к единой размерности (например, денег) с помощью коэффициентов aj, в различные активы (инвестиционные проекты, предприятия и т. п.), характеризующиеся функциями прибыли fj, т. е. такого распределения ограниченного объема ресурса (b), которое максимизирует суммарную прибыль. Представим ситуацию, когда она решается последовательно для каждого актива. Если на первом шаге принято решение о вложении в n-й актив xn единиц, то на остальных шагах мы сможем распределить b-anxn единиц ресурса. Абстрагируясь от соображений, на основе которых принималось решение на первом шаге (допустим, мы по каким-либо причинам не могли на него повлиять), будет вполне естественным поступить так, чтобы на оставшихся шагах распределение текущего объема ресурса произошло оптимально, что равнозначно решению задачи

при ограничениях

Очевидно, что максимальное значение (5.5) зависит от размера распределяемого остатка, и если оставшееся количество ресурса обозначить через ξ, то величину (5.5) можно выразить как функцию от ξ:

где индекс п-1 указывает на оставшееся количество шагов. Тогда суммарный доход, получаемый как следствие решения, принятого на первом шаге, и оптимальных решений, принятых на остальных шагах, будет

Если бы имелась возможность влиять на xn , то мы для получения максимальной прибыли должны были бы максимизировать Ωn по переменной xn , т. е. найти Λn(b) и фактически решить задачу:

В результате мы получаем выражение для значения целевой функции задачи при оптимальном поэтапном процессе принятия решений о распределении ресурса. Оно в силу построения данного процесса равно глобальному оптимуму целевой функции

т. е. значению целевой функции при одномоментном распределении ресурса.

Если в выражении (5.9) заменить значения b на ξ, и п на k, то его можно рассматривать как рекуррентную формулу, позволяющую последовательно вычислять оптимальные значения целевой функции при распределении объема ресурса ξ за k шагов:

Значение переменной xk , при котором достигается рассматриваемый максимум, обозначим k (ξ).

При k = 1 формула (5.11) принимает вид

т. е. допускает непосредственное вычисление функций Λ1(ξ) и 1(ξ).

Воспользовавшись (5.12) как базой рекурсии, можно с помощью (5.11) последовательно вычислить Λk(ξ) и k(ξ), k∊2:n. Положив на последнем шаге ξ = b, в силу (5.9), найдем глобальный максимум функции (5.3), равный Λn(b), и компоненту оптимального плана хn* = n(b). Полученная компонента позволяет вычислить нераспределенный остаток на следующем шаге при оптимальном планировании: ξ= bаnх*n , и, в свою очередь, найти х*n-1 = n-1n-1). В результате подобных вычислений последовательно будут найдены все компоненты оптимального плана.

Таким образом, динамическое программирование представляет собой целенаправленный перебор вариантов, который приводит к нахождению глобального максимума. Уравнение (5.11), выражающее оптимальное решение на k-м шаге через решения, принятые на предыдущих шагах, называется основным рекуррентным соотношением динамического программирования. В то же время следует заметить, что описанная схема решения при столь общей постановке задачи имеет чисто теоретическое значение, так как замыкает вычислительный процесс на построение функций Λk(ξ) (k∊1:n), т. е. сводит исходную задачу (5.3)—(5.4) к другой весьма сложной проблеме. Однако при определенных условиях применение рекуррентных соотношений может оказаться весьма плодотворным. В первую очередь это относится к задачам, которые допускают табличное задание функций Λk(ξ).