Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Теорема 2.2

Теорема 2.2. Если f(x) выпуклая (вогнутая) на Rn функция и f(x*)=0, то х* — точка глобального минимума (максимума).

Доказательство.

Доказательство достаточно провести для случая вогнутой функции, т. к. для противоположного случая оно будет абсолютно аналогичным с точностью до знака.

Пусть х — произвольная точка, отличная от точки х*. Тогда, для любого λ [0,1], в силу вогнутости функции f(x) будет выполняться

из чего следует

Если ввести вектор l = х - х* и обозначить Δх = λ(xх*) = λl, то длина вектора Δх будет равна ||Δx||=λ||l||. Следовательно,

Устремив λ → 0 и учитывая, что вектор l сонаправлен с Δх, получим

По условию теоремы f(x*)=0. Это означает, что для любого вектора l (а, стало быть, для любой точки х) согласно формуле, выражающей производную по направлению через градиент,

Следовательно, для любой точки х, не равной х*, справедливо неравенство f(x)-f(x)≤ 0 <=> f(x)≤ f(x*), т.е. х* — точка глобального максимума. A

Поскольку выпуклые функции обладают столь «полезными» оптимизационными качествами, они занимают исключительно важное место в теории исследования операций. Соответствующий раздел получил название выпуклого программирования, а общая задача выпуклого программирования формулируется как проблема поиска максимума вогнутой (минимума выпуклой) функции на выпуклом множестве.