Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа

Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа. Одним из наиболее общих подходов к решению задачи поиска экстремума (локального максимума или минимума) функции при наличии связующих ограничений на ее переменные (или, как еще говорят, задачи условной оптимизации) является метод Лагранжа. Многим читателям он должен быть известен из курса дифференциального исчисления. Идея данного метода состоит в сведении задачи поиска условного экcтремума целевой функции

на множестве допустимых значения D, описываемом системой уравнений

к задаче безусловной оптимизации функции

где u Rm — вектор дополнительных переменных, называемых множителями Лагранжа. Функцию Ф(х,и), где x Rn, u Rn, называют функцией Лагранжа. В случае дифференцируемости функций f и gi справедлива теорема, определяющая необходимое условие существования точки условного экстремума в задаче (2.3)-(2.4). Поскольку она непосредственно относится к предмету математического анализа, приведем ее без доказательства.

Теорема 2.1. Если х* является точкой условного экстремума функции (2.3) при ограничениях

(2.4) и ранг матрицы первых частных производных функций

равен т, то существуют такие и1*, и2*,...,иm*, не равные одновременно нулю, при которых

Из теоремы (2.1) вытекает метод поиска условного экстремума, получивший название метода множителей Лагранжа, или просто метода Лагранжа. Он состоит из следующих этапов.

1. Составление функции Лагранжа Ф(х,и).

2. Нахождение частных производных

3. Решение системы уравнений

относительно переменных x и u.

4. Исследование точек, удовлетворяющих системе (2.7), на максимум (минимум) с помощью достаточного признака экстремума.

Присутствие последнего (четвертого) этапа объясняется тем, что теорема (2.1) дает необходимое, но не достаточное условие экстремума. Положение дел с достаточными признаками условного экстремума обстоит гораздо сложнее. Вообще говоря, они существуют, но справедливы для гораздо более частных ситуаций (при весьма жестких предпосылках относительно функций f и gi) и, как правило, трудноприменимы на практике.

Еще раз подчеркнем, что основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной и, соответственно, расширить арсенал доступных средств решения проблемы. Однако нетрудно заметить, что задача решения системы уравнений (2.7), к которой сводится данный метод, в общем случае не проще исходной проблемы поиска экстремума (2.3)-(2.4). Методы, подразумевающие такое решение, называются непрямыми. Они могут быть применены для весьма узкого класса задач, для которых удается получить линейную или сводящуюся к линейной систему уравнений (2.7). Их применение объясняется необходимостью получить решение экстремальной задачи в аналитической форме (допустим, для тех или иных теоретических выкладок). При решении конкретных практических задач обычно используются прямые методы, основанные на итеративных процессах вычисления и сравнения значений оптимизируемых функций.