Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

Экономическая интерпретация

Экономическая интерпретация. Традиционная экономическая интерпретация двойственной задачи ЛП базируется на модели простейшей задачи производственного планирования, описанной во введении. Напомним, что в ней каждый (j-й) элемент вектора х рассматривается как план выпуска продукции данного вида в натуральных единицах, сj — цена единицы продукции j-го вида, аj — вектор, определяющий технологию расходования имеющихся m ресурсов на производство единицы продукции j-го вида, b — вектор ограничений на объемы этих ресурсов.

Предположим, что для некоторых значений A, b и с найден оптимальный план х*, максимизирующий суммарный доход max{cx}=cx*. Достаточно естественным представляется вопрос: как будет изменяться оптимальный план х* при изменении компонент вектора ограничений b и, в частности, при каких вариациях b оптимальный план х* останется неизменным? Данная задача получила название проблемы устойчивости оптимального плана. Очевидно, что исследование устойчивости х* имеет и непосредственное практическое значение, так как в реальном производстве объемы доступных ресурсов bi; могут существенно колебаться после принятия планового решения х*.

Когда вектор ограничений b изменяется на Δb или, как еще говорят, получает приращение Δb, то возникают соответствующие вариации для оптимального плана х*(b+Δb) и значения целевой функции f(х*(b+Δb)). Допустим, приращение Δb таково, что оно не приводит к изменению оптимального базиса задачи, т. е. х*(b+Δb)≥ 0. Определим функцию F(b), возвращающую оптимальное значение целевой функции задачи (D(b), f) для различных значений вектора ограничений b

Рассмотрим отношение ее приращения F(b+Δb)-F(b) к приращению аргумента Δb. Если для некоторого i устремить Δbi 0, то мы получим

Учитывая, что в соответствии с теоремой 1.5

и подставив (1.57) в (1.56), приходим к выражению

F Из формулы (1.58) вытекает экономическая интерпретация оптимальных переменных двойственной задачи. Каждый элемент ui* может рассматриваться как предельная (мгновенная) оценка вклада i-го ресурса в суммарный доход F при оптимальном решении х*. Грубо говоря, величина ui* равна приросту дохода, возникающему при увеличении ресурса i на единицу при условии оптимального использования ресурсов.

В различных источниках компоненты оптимального плана двойственной задачи также называются двойственными оценками или теневыми ценами, а Л. В. Канторович предлагал такой термин, как объективно обусловленные оценки.

На основе теорем двойственности для пары задач ЛП в общей форме могут быть сформулированы некоторые важные (с точки зрения экономической интерпретации) следствия.

F Если при использовании оптимального плана прямой задачи i-e ограничение выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, т.е. если

В рамках рассматриваемой задачи производственного планирования это означает, что если некоторый ресурс bi, имеется в избыточном количестве (не используется полностью при реализации оптимального плана), то i-e ограничение становится несущественным и оценка такого ресурса равна 0.

F Если при использовании оптимального плана двойственной задачи j-e ограничение выполняется как строгое неравенство, то оптимальное значение соответствующей переменной прямой задачи должно быть равно нулю, т. е. если a1,ju1* +...аm,j иm – сj > 0, то хj* =0.

Учитывая экономическое содержание двойственных оценок u1*,...,um, выражение а1,ju1* +…am,jum* может быть интерпретировано как удельные затраты на j-й технологический процесс. Следовательно, если эти затраты превышают прибыль от реализации единицы j-го продукта, то производство j-го продукта является нерентабельным и не должно присутствовать в оптимальном производственном плане (xj* =0).

Несмотря на возможные аналогии, которые могут возникнуть у читателей, знакомых с такими фундаментальными понятиями экономической теории, как предельные издержки и предельный доход, двойственные оценки не следует однозначно отождествлять с ценами (хотя такие попытки иногда предпринимались на начальной стадии становления исследования операций как науки). Еще раз подчеркнем, что переменные двойственной задачи по своему смыслу являются оценками потенциальной возможности получения дополнительной прибыли за счет увеличения соответствующего ресурса в условиях оптимального функционирования управляемого экономического объекта.