Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

4.2. Нечеткие операции, отношения и свойства отношений

Операции над нечеткими множествами. Над нечеткими множествами, как и над обычными, можно выполнять математические операции. Рассмотрим важнейшие из них: дополнение множества, объединение и пересечение множеств.

Операция дополнения может быть представлена следующим образом:


Операция объединения будет иметь следующий вид:


Здесь и далее операция v обозначает взятие максимума. Операция пересечения вычисляется следующим образом:


Здесь и далее символ л обозначает взятие минимума.

Нечеткие отношения. Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется подмножество прямого декартова произведения U ´ V, определяемое следующим образом:


где U = {u1, u2,..., иl}, V {v1, v2,..., vm}.

Допустим, что между элементами знаний, представленных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом: "Если F, то G", при этом F Í U, G Í V. В логике высказываний для представления правил подобного вида используется операция импликации. В нечеткой логике предложены различные способы реализации импликации. Один из наиболее простых способов заключается в представлении импликации, соответствующей правилу "Если F, то G", нечетким отношением R, которое вычисляется следующим образом [2]:


Свойства нечетких отношений.

1. Объединение отношений

(RÈ S)(u, v) = R(u, v) Ú S(u, v), и Î U, v Î V.

2. Пересечение отношений

(RÇ S)(u, v) = R(u, v) Ù S(u, v), и Î U, v Î V.

3. Операция включения

(R Í S) « R(u, v) £S (u, v), u Î U, v Î V.

4. Свойство идемпотентности

RÇR = R, RÈ R = R.

5. Коммутативность

RÇ S = SÇ R,RÈ S = SÈ R.

6. Ассоциативность

RÇ (SÇ Q) = (RÇ S)Ç Q.

RÈ (SÈ Q) = (RÈ SÈ Q.

7. Дистрибутивность

RÇ (SÈ Q) = (RÇ S)È (SÇ Q).

RÈ (SÇ Q) = (RÈ S)Ç (SÈQ).

8. Рефлексивность

Если mR (и, и) = 1, отношение R — рефлексивное.

Если mR (и, и) < 1, отношение R — слабо рефлексивное.

Если mR (и, и) = 0, отношение R — антирефлексивное.

Если mR (и, и) > 0, отношение R — слабо антирефлекеивное.

9. Симметричность

mR (u, v) = mR (v, и); и, v Î U.

10. Транзитивность

mR (u, v) ³ mR (u, z) Ù mR (z, v); u, v, z Î U.