Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

2.5. Методы сравнения объектов относительно стандартов и копированием

Сравнение объектов относительно стандартов

Во второй модификации рассматривается метод сравнения объектов относительно стандартов. Метод попарного сравнения альтернатив не всегда может быть эффективно применен в некоторых практических ситуациях:

• эксперту может быть предложено для анализа более девяти альтернатив. В этом случае построение однородных матриц по­парных сравнений становится затруднительным. Это связано с физическими ограничениями интеллекта человека;

• при добавлении новых альтернатив изменяется порядок ранее прошедших сравнение альтернатив относительно критериев качества. Нарушение порядка альтернатив нежелательно при решении ряда прикладных задач, связанных со значительными финансовыми, материальными и социальными затратами на корректировку последствий принимаемых решений или возможностью возникно­вения конфликтной ситуации между экспертами, готовящими и обосновывающими решения, и лицами, принимающими решения, несущими ответственность за принятые решения и их последствия;

• альтернативы могут поступать эксперту для сравнения не одновременно, а через определенные промежутки времени. По­этому в данной ситуации не представляется возможным попарно сравнить объекты.

Для решения проблемы сравнения и оценки альтернатив в указанных ситуациях наиболее целесообразен метод сравнения аль­тернатив относительно стандартов. Стандарт устанавливает уровень качества объекта относительно критерия качества. Например, критерию "надежность" для объекта "автомобиль" может быть назначено три стандарта, характеризующих соответствен­но высокий (H — high), средний (М — medium), низкий (L — little) уровень надежности. Каждый стандарт отождествляется, как правило, с некоторым существующим на практике эталоном качества. В качестве таких эталонов принимаются объекты, аналогичные сравниваемым альтернативам. Например, для видов обеспечения банковских кредитов высокий, средний и низкий стандарты по критерию "ликвидность" могут быть отождествлены соответственно с драгоценными металлами, ценными бумагами и недвижимостью.

В иерархической структуре стандарты присваиваются элементам, имеющим непосредственную связь с альтернативами При этом число стандартов по каждому такому элементу (критерию качества) может быть различно и определяется экспертом с учетом конкретной ситуации. По каждому стандарту экспертом устанавливается относительная степень предпочтения, которая указывает значимость стандарта для эксперта. Численное значение каж­дого стандарта определяется их попарным сравнением по девятибалльной шкале (см. табл. 2.1) путем обработки матрицы


Вектор приоритетов стандартов будет иметь следующий вид:

{Н= 0,625 М= 0,257 L= 0,091}T

Из вышеприведенной матрицы следует, что эксперт отдал слабое предпочтение высокому стандарту (Н) перед средним (М), а также среднему перед низким стандартом (L). В то же время пред­почтение высокого стандарта (Н) перед низким (L) определено как очень сильное (оценка 7 в матрице).

Рассмотрим правила построения иерархии (рис. 2.6), учитывающей стандарты и алгоритм вычисления векторов приоритетов альтернатив.

Введем следующие обозначения:

С = {С0, Cg} — множество стандартов, включающее два подмножества, устанавливающие соответственно основную { С0 } и дополнительную { Сg } шкалы. Основная шкала включает града­ции С0 = {Н, М, L}, где Н, М, L — соответственно высокий, средний и низкий уровень стандартов по определенному критерию. Дополнительная шкала может включать градации Cg = {НН, НМ, ML, LL}, где НН, НМ, ML, LL — соответственно очень высокое; промежуточное между высоким и средним; промежуточное между средним и низким; очень низкое значение стандартов.

Для конкретного элемента Esj, включенного в иерархию из множества С, определяется подмножество стандартов Сj, такое, что Сj Ì С, Сj Î Esj. Например, для элементов иерархии (см. рис. 2.6)


E1s и Esp определены стандарты Н, М, L, а для элемента Е2s — стандарты Н, НМ, М, ML, L. Следует отметить, что экспертом могут быть назначены различные значения для одних и тех же по наименованию стандартов, относящихся соответственно к элемен­там E1s и Esp.

Вычисление векторов приоритетов альтернатив относительно элементов иерархии,, учитывающей стандарты, осуществляется следующим образом.

Для каждого элемента Esj иерархии, непосредственно связан­ного со стандартами, устанавливается подмножество Сj Ì С. Стан­дарты, входящие в подмножества Сj, сформированные относитель­но Esj, попарно сравниваются по девятибалльной шкале предпочтений Относительные предпочтения стандартов фиксируются в матрицах, обработка которых по итерационному алгоритму, выполняемому в соответствии с соотношениями (2.2) и (2.3), позво­ляет определить для них правые собственные векторы Wsj Î Esj. В собственном векторе верхний индекс указывает на принадлежность вектора уровню стандартов в иерархии.

Лицо, принимающее решение, присваивает каждой альтернативе Аi значение одного стандарта. Процедура идентификации проводится по всем элементам Esj (j =

). В результате идентификации строится матрица [А] следующего вида:


В матрице [А] через wij обозначено численное значение стандартов, соответствующее альтернативе Аi и элементу Esj иерархии. Таким образом, столбцы в матрице [А] образуют ненормированные векторы приоритетов альтернатив по соответствующим элементам Esj.

Для получения нормированных векторов WAj (верхний индекс указывает на то, что ранжируются альтернативы) приоритетов альтернатив матрица [А] умножается на диагональную матрицу [S] вида:


Множество нормированных векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов самого нижнего уровня иерархии определяется перемножением матриц

[WA]=[A]´[S].

В полученной матрице [ WA ] столбцами являются нормиро­ванные векторы приоритетов альтернатив WAj для каждого элемента Esj иерархии.

Дальнейшее определение векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Eij иерархии, расположенных выше уровня S, осуществляется в соответствии с шагами 2 и 3 алгоритма иерархического синтеза (см. разд. 2.3).

Рассмотрим пример использования метода сравнения альтернатив относительно стандартов, подтверждающий тот факт, что добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее проранжированных альтернатив.

Пусть имеется матрица предпочтений стандартов:


Вектор приоритетов стандартов имеет следующий вид:

Н = 0,696 М = 0,225 L = 0,079.

Рассмотрим четыре альтернативы А1,..., А4 которым поставле­ны в соответствие следующие значения вектора приоритетов стандартов:

А1 = 0,225 (М), А2 = 0,079 (L), А3 = 0,225 (М), А4 =0,079 (L),

Нормированный вектор приоритетов рассматриваемых альтернатив следующий:

А1 А2 А3 А4

W4 = { 0,370 0,130 0,370 0,130 }Т.

где Т — знак транспонирования;

(4) — нижний индекс, указывающий число ранжируемых альтернатив. >В соответствии с приведенным вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета: А1, А3, А2, А4.

Добавим к рассматриваемому множеству альтернатив новую — А5 и присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту — Н. Нормированный вектор приоритетов для пяти альтернатив имеет следующий вид:

А1 А2 А3 А4 A5

W5= {0,137 0,061 0,173 0,061 0,534}T.

В соответствии с этим вектором альтернативы ранжируются в порядке убывания приоритета следующим образом: А5, А1, А3, А2, A4. Анализ приведенной последовательности показывает, что добавление новой альтернативы А5, не привело к нарушению порядка у ранее проанализированных альтернатив А1, ..., А4.

Сравнение объектов методом копирования

В третьей модификации рассматривается определение вектора приоритетов альтернатив методом копирования.

Метод копирования применяется в тех случаях, когда среди анализируемых альтернатив имеются такие, которые идентичны по одним или нескольким анализируемым свойствам (критериям качества). Например, пневматическая виброзащитная система рукавного типа, используемая в рессорном подвешивании пассажирских автобусов, идентична по качеству виброизоляции с металли­ческим механизмом перескока, реализующим квазинулевую жест­кость.

Рассмотрим процедуры сравнения и установления приоритета альтернатив, используемые в методе копирования.

Пусть определено множество альтернатив А = {а1, а2, ..., аn}, каждая из которых отличается от всех других альтернатив этого множества уровнем качества по рассматриваемому критерию Кi и определено другое множество альтернатив В == {b1, b2, ..., bn}, каждая из которых имеет одинаковые свойства со всеми другими по ранее определенному критерию Кi. Предположим, что множество А имеет хотя бы один элемент аi* , свойство которого по критерию Кi идентично свойствам всех альтернатив множества В. Тогда все альтернативы множества В являются копиями элемента аi* по критерию Кi. При такой ситуации эксперт по критерию Кi попарно сравнивает только альтернативы множества А. Далее на основании матрицы попарных сравнений рассчитывается нормированный собственный вектор WA, ранжирующий альтернативы множества A. Всем альтернативам-копиям {b1, b2, ..., bn} присваи­вается значение нормированного собственного вектора WA, соот­ветствующее элементу ai* В результате получается новый ненормированный вектор приоритетов WAB всех альтернатив, входящих в множества A и В. Вектор WAB нормируется путем деления каж­дого значения указанного вектора на сумму всех его значений.

Метод копирования аналогичен методу сравнения альтернатив относительно стандартов в том плане, что позволяет не нарушать порядок ранее проранжированных альтернатив при добавлении новых, являющихся копиями ранее проранжированных альтернатив. Кроме того, число анализируемых альтернатив при добавле­нии копий может превышать пороговое значение, равное девяти, установленное для метода попарного сравнения.

Рассмотрим пример добавления к ранее проранжированным объектам альтернатив-копий.

Допустим, определены три альтернативы A1, А2 и А3, для кото­рых экспертом установлена относительная степень предпочтений по критерию "надежность функционирования системы". Альтернативы сравниваются попарно в матрице, для которой рассчитывается нормированный собственный вектор, имеющий значения {0,5 0,3 0,2}T . В приведенном векторе указан знак транспониро­вания — Т, а порядок значений вектора соответствует весу альтернатив А1, А2 и А3. Предположим, что для анализа поступают две новые альтернативы А4, А5, свойства которых по указанному кри­терию полностью идентичны свойствам альтернативы А3. В этом случае альтернативам-копиям присваиваются веса, соответствую­щие весу альтернативы А3,, т. е. А4 = 0,2 и А5 = 0,2. Новый ненорми­рованный вектор приоритетов альтернатив принимает следующий вид:

{0,5 0,3 0,2 0,2 0,2}T

Значения весов пяти альтернатив после нормирования преды­дущего вектора приоритетов имеют следующий вид:

A1 = 0,35, А2 == 0,21, А3 = 0,14, A4 = 0,14, A5= 0,14.

Анализ двух векторов приоритетов, характеризующих соответственно множества из трех и пяти альтернатив, показывает, что добавление альтернатив А4, А5 не нарушило порядок приоритетности альтернатив А1, А2 и А3,.

Метод копирования позволяет существенно сократить время экспертов на подготовку исходных данных для анализа и уменьшить вероятность внесения в них как случайных, так и логичес­ких ошибок.