Добро пожаловать на наш портал !

Методы компьютерного моделирования экономических процессов

2.3. Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности

Иерархический синтез

Иерархический синтез используется для взвешивания собствен­ных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами кри­териев (элементов), имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рас­сматривается алгоритм иерархического синтеза с учетом обозна­чений, принятых в предыдущей иерархии (см. рис. 2.1).

Ш а г 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив

относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (i = S). Здесь через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив WAS относительно уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.2) и (2.3) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:


Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:


В матрицах через vj обозначен вес, или интенсивность, Еj-го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:


Полученные значения векторов

используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Еij находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы ЕSj. Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:


где

— вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1i-1, определяющий j-й столбец матрицы;


— вектор приоритетов элементов E1i-1, E2i-1,..., Eni-1, связанных с эле­ментом Ej вышележащего уровня иерархии.

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E3j), второго (Е2j) и первого (Е1j) уровней иерархии с учетом конкрет­ных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом:


Результирующий вектор приоритетов альтернатив относитель­но корневой вершины иерархии Е11 вычисляется следующим образом:


Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса социально-экономических и управленческих задач.

Оценка однородности иерархии

После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению однородности определяется конкретной иерархией.

Рассмотрим принципы вы­числения индекса ИОИ и отношения ООИ однородности иерархии.


Пусть задана иерархия кри­териев и альтернатив (рис. 2.3.) и для каждого уровня определен индекс однородности и векторы приоритетов критериев следующим образом:

ИО1 — индекс однородности для 1-го уровня;

{ИО2, ИО3} — индексы однородности для 2-го уровня;

{ИО4, ИО5, ИО6} — индексы однородности для 3-го уровня;

{W1} — вектор приоритетов критериев К2 и К3 относительно критерия К1;

{W2},{W3} — векторы приоритетов критериев К4, К5, К6 относительно критериев К2 и К3 второго уровня.

В этом случае индекс однородности рассматриваемой иерархии можно определить по формуле


где Т — знак транспонирования.

Определение отношения однородности ООИ для всей иерархии осуществляется по формуле

ООИ = ИОИ / М(ИОИ),

где М(ИОИ) — индекс однородности иерархии при случайном заполнении матриц попарных сравнений.

Расчет индекса однородности М(ИОИ) с учетом экспериментальных данных (см. табл. 2.3) выполняется по формуле, аналогичной (2.5):


Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях ООИ ≤ 0,10.